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규칙성의 과학, 보이지 않는 것을 보여주는 언어

수학은 무엇인가?

수학은 무엇인가?
이에 대한 답으로 수학은 ‘수에 관한 학문’이라고 대답할 수도 있겠지만 이는 너무 구식이다. 사실 기원전 500년까지 수학은 수의 계산이 전부였다. 하지만 그리스 시대 기하학의 발달은 수학을 ‘수와 도형의 연구’로, 나아가서 ‘미적·종교적 요소가 가미된 지적 탐구’로 보이게 하였다. 17세기에는 미적분학의 발달에 의하여 수학에서 운동과 공간을 연구하게 되었고, 수학자는 동시에 물리학자였다. 그러다가 18세기에 다시 수학 자체에 관심을 돌려 운동과 공간의 연구를 위한 도구를 다루는 학문이 되었다. 20세기에 들어오면서 수학은 급속히 발달하여 1900년의 수학은 대략 12가지 정도로 분류할 수 있다. 그리고 현재 수학은 6,70가지 이상의 다양한 세부 과목들로 이루어져 있다.

수학의 이러한 성장에 따라 “수학은 무엇인가?”에 대해서 많은 수학자들은 ‘규칙성의 과학’이라고 대답한다. 즉, 수학자들이 하는 일은 추상적인 규칙성을 탐구하는 것이다. 예를 들면, 산술은 수와 셈의 규칙성, 기하학은 도형의 규칙성, 미분적분학은 운동의 규칙성, 논리학은 추론의 규칙성을 연구한다.

수학에 대한 또 하나의 관점은 언어로서의 수학이다. 수학자는 우리 주변에서 일어나는 일을 수학적 언어로 바꾸는 능력이 뛰어나다.

갈릴레오는 “자연의 커다란 책은 그 책의 언어를 아는 사람만 읽을 수 있는데, 그 언어는 수학이다.”라고 하였다. 우선, 수학은 보이지 않는 것을 보이게 하는 언어라고 할 수 있다. 예를 들면, 비행기가 공중에 떠있게 하는 원리를 보여 주는 것은 베르누이의 방정식이고, 사과가 땅에 떨어지도록 하는 것은 중력이지만 이를 보여주는 것은 뉴턴의 방정식이다. 또한 지금은 인공위성을 통해서 지구가 둥글다는 것을 쉽게 확인할 수 있지만, 이미 2000년 전에 에라토스테네스가 수학을 이용해서 지구가 둥글다는 것을 보여 주었다.

그리고 수학은 기호를 사용하여 다루는 내용의 핵심을 추출하여 간결하게 표현할 수 있도록 한다. 예를 들어, “두 수를 더할 때, 순서는 무관하다”는 “x+y=y+x”로, “어떤 수의 세 배와 또 하나의 수를 네 배하여 더하면 12이다.”는 “3x+4y=12”로 간단히 표현할 수 있다. 어떤 내용의 핵심을 간결하게 추출하는 것은 현대 사회에서 우리들이 꼭 갖추어야 할 능력중의 하나인데, 이는 수학을 배우면서 자연스럽게 길러진다.

수학의 응용분야는 전방위적이지만 우리가 미처 생각지도 못한 분야에서 수학이 사용되고 있다. 예를 들면, 매일 사용하는 휴대전화, 인터넷 등에서 보안 문제로 암호를 사용할 때, 소인수분해를 이용한 ‘공개 키 암호’를 사용하고 있다. 무역 거래에서 이해득실이 충돌할 때의 행동 양식을 수학적으로 밝혀내기 위해 등장한 ‘게임이론’은 수학자 노이만의 작품이다. 현재 전 세계적인 금융위기의 주범으로 간주되는 ‘금융파생상품’은 미국의 수학자 숄즈와 블랙이 만든 공식에 기초한다. 이 공식은 파생상품의 투자가치를 계산하는 시간을 획기적으로 줄여 주었다. 이로 인하여 많은 수학자들이 금융계로 진출하게 되었고 대학에서도 금융수학을 전공하는 과정이 생겼다.

프랑스 수학자 푸앵카레의 아이디어에서 출발한 카오스(Chaos)이론은 기상예측에서 각 변수의 초기 값이 조금만 차이가 나도 정반대의 결과가 나오는 현상을 설명하는 이론이다. 과거의 조그만 변화가 미래의 예측하지 못한 결과로 이어지는 내용을 담고 있는 영화 ‘나비효과’도 카오스이론에서 나온다. 나비효과라는 말은 브라질의 아마존에서 졸고 있던 나비의 날개 짓 한 번이 미국 중부의 토네이도(Tornado)의 원인이 될 수 있다는 뜻이다. 이러한 불규칙성에 관한 계산 방법이 주식시장의 주가 예측에도 활용된다.

또한 병원의 컴퓨터 단층 촬영은 ‘삼차원의 도형을 평면 위의 적분 값에서 재구성할 수 있다’는 원리를 사용하는데 이것은 수학자 라돈이 연구한 적분방정식에 이론적 근거를 두고 있다. 그리고 초음파 진단장치는 ‘뫼비우스(Mёbius) 변환’이라는 수학이 사용되고 있다.

일본, 괌, 하와이를 연결하는 해저 광케이블 공사에서 최단거리를 구할 때, 기하학의 ‘스타이너(Steiner) 점’을 이용하였다. 아래의 사진은 이를 기념한 일본의 우표이다.

걸프전에서 승리하면서 미국 대통령은 “이번 전쟁은 수학의 승리”라고 하였다. 전자전의 핵심기술이 수학에서 나왔기 때문이다. 이처럼 고도의 수학적 이론을 근거로 사용하고 있는 분야가 상당히 많이 있다. 수학이 사용되지 않을 것 같은 분야에서도 수학은 수학을 공부하지 않은 사람들은 할 수 없는 방법으로 전문적인 도움을 주고 있다.

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